保险专业资源下载网站

Lecture 1
lecture1-1
lecture1-2
补充资料（第一讲）
Lecture 2
补充资料（第二讲）
Lecture3
补充资料（第三讲）
lecture4
补充资料（第四讲）

Lecture 1
Claims distribution
0 Introduction
We could model:
– individual claim amounts (Log-Normal,
Pareto, Weibull, Gamma, Burr)
– claim frequency (Poisson, Binomial, Negative
Binomial)
– aggregate claim amounts (Compound
Poisson, Compound Binomial, Compound
Negative Binomial, Translated Gamma,
Log-Normal, Pareto, Normal)
0 INTRODUCTION 2
 In this lecture we will discuss:
– Moments of compound distributions
– The compound Poisson distribution
– The compound binomial distribution
– The compound negative binomial distribution
– Exact calculation of the probability function
for the collective risk model
– The normal approximation to the distribution
function for the collective risk
model
– The translated gamma approximation
to the distribution function for the collective
risk model
– Mixture of distributions
1 MOMENTS OF COMPOUND DISTRIBUTIONS 3
1 Moments of compound distributions
 Let the random variable Xi denote the
amount of the ith claim. Then:
S =
NX
i=1
Xi
where the summation is taken to be zero
if N is zero.
 This decomposition of S allows consideration
of claim numbers and claim amounts
separately.
1 MOMENTS OF COMPOUND DISTRIBUTIONS 4
 A practical advantage of this is that the
factors affecting claim numbers and claim
amounts may well be different.
 This approach is referred to as a collective
risk model because it is considering
the claims arising from a group of
policies taken as a whole.
 The random variable S is the sum of a
random number of random quantities, and
is said to have a compound distribution.
1 MOMENTS OF COMPOUND DISTRIBUTIONS 5
 To define a compound distribution, you
need to know two components:
– the distribution of N (which is a discrete
distribution) and
– the distribution of the Xi’s (which may
be any distribution).
 The problems that will be studied are the
derivation of the moments and distribution
of S in terms of the moments and
distributions of N and the Xi’s.
1 MOMENTS OF COMPOUND DISTRIBUTIONS 6
 An expression for G(x), the distribution
function of S, can be derived by considering
the event {S   x}.
We have
{S  x} =
1[n=0
{S   x and N = n}
and hence:
P(S   x) =
1Xn=0
P(S   x and N = n)
=
1Xn=0
P(N = n) · P(S   x|N = n)
1 MOMENTS OF COMPOUND DISTRIBUTIONS 7
 The distribution of a sum of independent
random variables can be found using convolutions.
 If Z = X+Y , where X and Y are random
variables with PDFs (or PFs) fX(x) and
fY (y) , then fZ(z), the PDF (or PF) of
Z, is called the convolution of X and
Y .
We can write this symbolically as fZ =
fX  fY .